之前讨论过如何解这个薛定谔方程，解得特征值和波函数
这里使用另一种gauge：Symmetric Gauge
可以通过类似方法构造最低Landau能级的波函数（详细推导见David Tong讲义）
得到basis
其中m对应了角动量量子数，角动量算符定义为
可得
二、Laughlin 波函数
Laughlin 波函数并不是凭空想象出来的，考虑相互作用的二粒子体系（在最低的Landau level），考虑中心势场（角动量守恒）
使用上面的结果，可以这样构造对应的波函数(忽略mixing between Landau levels)
虽然这不能直接推广到多体，但多体波函数可有如下形式
Langhlin提出了一个基态波函数（填充因子v=1/m）
m为奇数时它是反对称的（Fermion，偶数时可看作boson的量子霍尔态）。
来看单个粒子z1的状态，波函数前面的因子
对于的z1指数是m(N − 1)，即对应的最大角动量 ，对应的回旋半径和面积为
所以Landau能级的占据数为
即填充因子为
从而解释了1/m (奇数) 的霍尔平台，但其他的分数又如何解释？
三、Quasi-Holes， Quasi-Particles，Anyons, Fractional Statistics(略)
上面介绍了ground state，有两种带电激发态Quasi-Holes and Quasi-Particles, 引入quasi-hole 坐标 η
可以看出电荷密度在这一点为0，把电子看作相互作用的流体，即相当于在里面挖了个孔。quasi-particles的波函数有那么点不友好
波函数满足交换关系
α=0 或1对应的是boson 和fermion，α=1/m（满足分数统计）对应的是anyon。任意子的波函数为
p是个整数，利用上面同样的技巧得到
然后把quansi-hole, quansi-particle 作为新的quantum Hall state迭代得到连分数
从m=1/3开始，pi=1一次取下去可以得到2/5, 3/7, 4/9, 5/11, 6/13 ...
然而，1/2等还是没有得到，如何解释这个分数的起源？
四、Composite fermions (electron attached to flux)
强磁场作用下需要新的order parameter去描述, Berry phase有两部分
第一项是Aharonov-Bohm phase，来源于磁通量的贡献，第二项来源于电子绕m-1个quansi-hole的贡献即vortex。这时候可定义有效的磁场
可得有效的填充因子
可得1, 2/3, 3/5, 4/7, 5/9, . . .1/2等分数。
详情可参考：
“Composite-Fermion Approach to the Fractional Quantum Hall Effect”, Jainendra Jain, Phys. Rev. Lett. 63 2 (1989).
Ref:
"The quantum hall effect" -David Tong返回搜狐，查看更多